Splines

Gegeben seien die m Datenpunkte

 

displaymath139

 

Gesucht ist ein offener Basis-Spline mit n+1 Polygonecken, bestehend aus quadratischen Polynomen (Ordnung 3), der diese Datenpunkte approximiert. Der Knotenvektor soll uniform sein und wie folgt aussehen tex2html_wrap_inline143 :

displaymath145

 

Jedem Datenpunkt tex2html_wrap_inline147 , tex2html_wrap_inline149 ordnet man einen Parameter tex2html_wrap_inline151 zu, bei dem sich der Spline tex2html_wrap_inline153 möglichst nahe an tex2html_wrap_inline147 annähern soll. Um eine gleichmäßiges Durchlaufen der Kurve mit dem Parameter zu erreichen, wählt man den Parameter eines Datenpunktes entsprechend seines Abstandes auf der Kurve zum Ausgangspunkt. Eine sinnvolle Annäherung diese Abstandes liefert die Länge des Polygonzuges über die Datenpunkte. Für den Parameterbereich tex2html_wrap_inline157 ergibt das:

 

displaymath159

 

Ein Standardverfahren zur Approximation ist die Methode der kleinsten Fehlerquadrate, das hier eine Minimierung der quadratischen Abstände zwischen den Datenpunkten tex2html_wrap_inline147 und den ihnen zugeorndeten Punkten tex2html_wrap_inline153 auf dem Spline bedeutet. Man betrachte daher als zu minimierende Summe:

 

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Sie ist eine Funktion der zu bestimmenden Polygonpunkte tex2html_wrap_inline167 , tex2html_wrap_inline169 , tex2html_wrap_inline171 , tex2html_wrap_inline173 . Für deren voneinander unabhängigen Koordinaten tex2html_wrap_inline175 und tex2html_wrap_inline177 , tex2html_wrap_inline179 ergeben sich aus der notwendigen Bedingung für ein Minimum von S die linearen Gleichungssysteme:

 

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displaymath185

 

Im folgenden werden nur noch die x-Koordinaten betrachtet. Die Bestimmung der y-Koordinaten der Polygonecken verläuft dann analog.

Die x-Koordinatenfunktion des Splines ist nach Definition gegeben durch

 

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Die partielle Ableitung von tex2html_wrap_inline189 nach tex2html_wrap_inline175 ist offenbar

 

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Aus dem Gleichungssystem ergibt sich damit tex2html_wrap_inline179 :

 

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Diese etwas unübersichtliche Schreibweise läßt sich durch Einfürung folgender Matrizen deutlich vereinfachen:

 

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Durch sukzessives Ausführen der Matrizenmultiplikation läßt sich zeigen, daß die folgende Gleichung in Matrizenschreibweise äquivalent zum Gleichungssystem oben ist:

 

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Die Einträge der Matrix tex2html_wrap_inline203 können mit den tex2html_wrap_inline151 bestimmt werden. Der Gaußsche Algorithmus liefert dann die gesuchten x-Koordinaten der Polygonecken, die sich mit Matrizeninvertierung auch wie folgt darstellen lassen:

 

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chris
Mon Dec 23 17:55:28 MET 1996