Gegeben seien die m Datenpunkte
Gesucht ist ein offener Basis-Spline mit n+1 Polygonecken, bestehend aus quadratischen Polynomen (Ordnung 3), der diese Datenpunkte approximiert. Der Knotenvektor soll uniform sein und wie folgt aussehen :
Jedem Datenpunkt , ordnet man einen Parameter zu, bei dem sich der Spline möglichst nahe an annähern soll. Um eine gleichmäßiges Durchlaufen der Kurve mit dem Parameter zu erreichen, wählt man den Parameter eines Datenpunktes entsprechend seines Abstandes auf der Kurve zum Ausgangspunkt. Eine sinnvolle Annäherung diese Abstandes liefert die Länge des Polygonzuges über die Datenpunkte. Für den Parameterbereich ergibt das:
Ein Standardverfahren zur Approximation ist die Methode der kleinsten Fehlerquadrate, das hier eine Minimierung der quadratischen Abstände zwischen den Datenpunkten und den ihnen zugeorndeten Punkten auf dem Spline bedeutet. Man betrachte daher als zu minimierende Summe:
Sie ist eine Funktion der zu bestimmenden Polygonpunkte , , , . Für deren voneinander unabhängigen Koordinaten und , ergeben sich aus der notwendigen Bedingung für ein Minimum von S die linearen Gleichungssysteme:
Im folgenden werden nur noch die x-Koordinaten betrachtet. Die Bestimmung der y-Koordinaten der Polygonecken verläuft dann analog.
Die x-Koordinatenfunktion des Splines ist nach Definition gegeben durch
Die partielle Ableitung von nach ist offenbar
Aus dem Gleichungssystem ergibt sich damit :
Diese etwas unübersichtliche Schreibweise läßt sich durch Einfürung folgender Matrizen deutlich vereinfachen:
Durch sukzessives Ausführen der Matrizenmultiplikation läßt sich zeigen, daß die folgende Gleichung in Matrizenschreibweise äquivalent zum Gleichungssystem oben ist:
Die Einträge der Matrix können mit den bestimmt werden. Der Gaußsche Algorithmus liefert dann die gesuchten x-Koordinaten der Polygonecken, die sich mit Matrizeninvertierung auch wie folgt darstellen lassen: